\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=3\\x+2y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)y=2\\x=1-2y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2}{m-2}\\x=1-\dfrac{4}{m-2}=\dfrac{m-6}{m-2}\end{matrix}\right.\)

a, Ta có x < 0 ; y > 0 

\(x< 0\Rightarrow\dfrac{m-6}{m-2}< 0\)

Ta có : m - 2 > m - 6 

\(\left\{{}\begin{matrix}m-2>0\\m-6< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>2\\m< 6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2< m< 6\)

\(y>0\Leftrightarrow\dfrac{2}{m-2}>0\Rightarrow m>2\)

Vậy 2 < m < 6 

b, \(x-2y=3\Rightarrow\dfrac{m-6}{m-2}-\dfrac{4}{m-2}=3\Leftrightarrow\dfrac{m-10}{m-2}=3\)

\(\Rightarrow m-10=3m-6\Leftrightarrow2m=-4\Leftrightarrow m=-2\)

Đáp án A

Ta có  e 2 x + y + 1 - e 3 x + 2 y = x + y + 1 ⇔ e 2 x + y + 1 + 2 x + y + 1 = e 3 x + 2 y + 3 x + 2 y *

Xét f t = e t + t  là hàm số đồng biến trên ℝ  mà f 2 x + y + 1 = f 3 x + 2 y ⇒ y = 1 - x  

Khi đó  log 2 2 2 x + y - 1 - m + 4 log 2 x + m 2 + 4 = 0

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ = m + 4 - 4 m 2 + 4 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 8 3 .

vì x+y=4 nền (x+y)^2=4^2                                                                                                                                                                                            =x^2+ 2xy+y^2=16        ma  xy=5 nên 2xy=10  ta có x^2+y^2+10=16 ; x^2+y^2= 16-10                                                                                                                                                                                     x^2+y^2=6                                     kết quả mik là z đó nhưng k biết có đúng k bn ak

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$2A=2x^2y^2(x^2+y^2)=xy.[2xy(x^2+y^2)]\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2.\left(\frac{2xy+x^2+y^2}{2}\right)^2$

$\Leftrightarrow 2A\leq \frac{(x+y)^6}{16}=\frac{1}{16}$

$\Rightarrow A\leq \frac{1}{32}$
Vậy $A_{\max}=\frac{1}{32}$. Giá trị này đạt được khi $x=y=\frac{1}{2}$

Lời giải:

Với $x,y$ dương thì $\frac{2x+2y}{xy+2}$ nếu nhận giá trị nguyên thì là nguyên dương 

$\Rightarrow 2x+2y\geq xy+2$

$\Leftrightarrow (x-2)(y-2)-2\leq 0(*)$

Nếu $x,y> 4$ thì $(*)$ không thể xảy ra. Do đó tồn tại ít nhất 1 số trong 2 số $\leq 4$

Giả sử $y=\min (x,y)$.

Nếu $y=1$ thì $\frac{2x+2y}{xy+2}=\frac{2x+2}{x+2}=2-\frac{2}{x+2}$ nguyên khi $x+2$ là ước của $2$. Mà $x+2\geq 3$ với mọi $x$ nguyên dương nên TH này loại

Nếu $y=2$ thì $\frac{2x+2y}{xy+2}=\frac{2x+4}{2x+2}=\frac{x+2}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}$ nguyên khi $x+1$ là ước của $1$. Mà $x+1\geq 2$ nên TH này cũng loại nốt.

Nếu $y=3$ thì $0\geq (x-2)(y-2)-2=x-2-2=x-4$

$\Rightarrow 4\geq x$. Vì $x\geq y$ nên $x=3$ hoặc $x=4$. Thay vô phân thức ban đầu ta có $(x,y)=(4,3)$ thỏa mãn

Nếu $y=4$ thì $0\geq (x-2)(y-2)-2=2(x-2)-2$

$\Rightarrow x\leq 3$. Mà $x\geq y$ nên loại.

Vậy $(x,y)=(4,3)$ và hoán vị $(3,4)$

Đáp án C.

Ta có:

G T ⇔ 5 x + 2 y + x + 2 y − 3 − x − 2 y = 5 x y − 1 − 3 1 − x y + x y − 1.

Xét hàm số

f t = 5 t + t − 3 − t ⇒ f t = 5 t ln 5 + 1 + 3 − t ln 3 > 0   ∀ t ∈ ℝ

Do đó hàm số đồng biến trên ℝ  suy ra f x + 2 y = f x y − 1 ⇔ x + 2 y = x y − 1

⇔ x = 2 y + 1 y − 1 ⇒ T = 2 y + 1 y − 1 + y . Do x > 0 ⇒ y > 1  

Ta có:  T = 2 + y + 3 y − 1 = 3 + y − 1 + 3 y − 1 ≥ 3 + 2 3 .